进制转换

1. 考点：常见进制

进制	数码	基数	位权
十进制(D)	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	10	$10^k$
二进制(B)	0, 1	2	$2^k$
八进制(O)	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	8	$8^k$
十六进制(H)	0~9, A, B, C, D, E, F	16	$16^k$

1.1 补充说明

• 十进制规则：逢十进位，没有单独的字符表示十。
• 提示 1：小数点左边的位权阶数 $k$ 从 0 开始，右边的位权阶数 $k$ 从 -1 开始。比如十进制数 $123.123D$。
• 提示 2：只需记忆 $A=10$ 和 $F=15$。

2. 考点：R进制转十进制（加权法/按权展开法）

2.1 原理说明

• R进制转十进制​：使用​按权展开法。

• 具体操作：将 R 进制数的每一位数乘以 $R^k$。

  • 底数：即为进制数 R。

  • 指数 $k$：取决于该位与小数点之间的距离。

    • 小数点左边：$k$ 值为该位与小数点之间数码的个数。
    • 小数点右边：$k$ 值为负值，其绝对值为该位与小数点之间数码的个数加 1。

• 核心总结：把每一位的数和当前位的权值相乘后的结果累加起来。

2.2 计算示例

2.2.1 1. 二进制转十进制

• $$111(B) = 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 4 + 2 + 1 = 7(D)$$

• $$10100.01(B) = 1 \times 2^4 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^{-2} = 16 + 4 + 0.25 = 20.25(D)$$

2.2.2 2. 八进制转十进制

• $$604(O) = 6 \times 8^2 + 0 \times 8^1 + 4 \times 8^0 = 384 + 0 + 4 = 388(D)$$

3. 考点：十进制转R进制（短除法/除基取余法）

3.1 原理说明

• 适用场景​：将十进制转换为 ​R 进制。

• 核心操作​：​短除法（也称“除基取余法”）。

• 操作步骤：

  1. 用十进制数不断除以基数 R。
  2. 循环此过程，直到商为 0。
  3. 取余顺序：从下往上记录各次除法的余数，即为转换后的 R 进制数。

3.2 计算示意图

3.3 例题：将94D转化为二进制数。

4. 考点：十进制转二进制（凑位权法）

4.1 原理说明

• 凑位权法：通过二进制的“权值表”，将十进制数拆解为若干个 2 的幂次之和。如果该位在拆解中被用到，则记为 1，否则记为 0。

4.2 二进制权值表

二进制权	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
权值	128	64	32	16	8	4	2	1
7 的二进制	0	0	0	0	0	1	1	1
94 的二进制	0	1	0	1	1	1	1	0

4.3 计算过程解析

4.3.1 1. 示例计算

• 7 的转换：$4 + 2 + 1 = 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0$，结果为 00000111(B)。
• 94 的转换：$64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 1 \times 2^6 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1$，结果为 01011110(B)。

4.3.2 2. 思考题：IP 地址中 192(D) 转换为二进制是多少？

• 凑位步骤：

  1. 192 大于 128，取 128（余 64）。
  2. 64 等于 64，取 64（余 0）。
  3. 其余位均不需要，记为 0。

• 计算式：$128 + 64 = 1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0$

• 结果​：​11000000(B)​

5. 考点：二进制与八进制、十六进制转换（分组法）

5.1 核心原理

通过​分组法，二进制可以快速转换成八进制或十六进制，反之亦然（逆分组法）。

• 二进制转八进制（三分法） ​：将二进制数从右向左每 3 位分为一组，不足 3 位的补 0，每组对应一位八进制数。
• 二进制转十六进制（四分法） ​：将二进制数从右向左每 4 位分为一组，不足 4 位的补 0，每组对应一位十六进制数。

5.2 转换示例

• 二进制转八进制 (三分法) ：

  • 10 001 110(B)​ → 010​ 001​ 110​ → 2​ 1​ 6(O)

• 二进制转十六进制 (四分法) ：

  • 1000 1110(B)​ → 1000​ 1110​ → 8​ E(H)

5.3 思考题：内存地址中 31B5H 转换为二进制是多少？

解题思路（逆分组法） ：将十六进制的每一位拆解为对应的 4 位二进制。

• 3 → 0011
• 1 → 0001
• B (即 11) → 1011
• 5 → 0101

结果：将上述组合拼接起来，得到二进制：​0011000110110101(B)​

6. 总结