码制

1. 考点一：码制基础概念

• 原码​：最高位是符号位，其余低位表示数值的绝对值，​直接表示该数据（0表示正数，1表示负数）
• 反码​：正数的反码与原码相同，负数的反码是在负数原码基础上数值位​取反（符号位不变）
• 补码​：正数的补码与原码相同，负数的补码是在负数反码基础上末位​补1（符号位参与运算）
• 移码：无论正负数，都是把补码的符号位取反

	数值 +1	数值 -1	(+1) + (-1)
原码	0000 0001	1000 0001	1000 0010
反码	0000 0001同上	1111 1110绝反	1111 1111
补码	0000 0001同上	1111 1111补一	0000 0000
移码	1000 0001符反	0111 1111符反	1000 0000

注：补码和移码中，$\pm 0$ 编码相同。

在上述示例中，移码相加为：$1000\ 00000$，舍弃最后一位 $0$，得到 $1000\ 0000$。

2. 负数补码求原码快捷公式

符号位不变，数值位从右往左数第1个1的前1位开始全部取反。

• 例子​：已知补码为：1111 1111，求原码。
• 解：根据快捷公式，符号为 $1$，从右往左数第一个 $1$ 右边不变，结果为：1000 0001。

2.1 例题一

• 题目：如果“2X”的补码是“90H”，那么X的真值是多少？

• 解：

  • 90H​ 中的 H​ 告诉我们这是一个16进制的数据，根据逆分组法可知其对应的二进制补码为：1001 0000。
  • 最高位符号位为 $1$，可知是一个负数。
  • 利用快捷公式可知 $2X$ 原码为：1111 0000。
  • 真值为：$2X = -(16 + 32 + 64) = -112$。
  • 则 $X = -56$。

3. 考点二：n位二进制数能够表示的数值范围和数码个数

3.1 定点整数

当 $n=4$，也就是一共 $4$ 个数位时：

• 转为二进制：1111​ ~ 0111
• 范围：$-7 \sim +7$
• 原码范围：$-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$
• 重点：补码和移码可以达到 $-2^{n-1}$。

码制	定点整数数值范围	数码个数
原码	$-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$	$2^{n}-1$
反码	$-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$	$2^{n}-1$
补码	$-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$	$2^{n}$
移码	$-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$	$2^{n}$

3.2 定点小数

当 $n=4$，也就是一共 $4$ 个数位时（小数点位于符号位之后）：

• 数值范围：$-0.111 \sim +0.111$
• 原码范围：$-(1 - 2^{-(n-1)}) \sim +(1 - 2^{-(n-1)})$
• 重点：补码和移码可以达到 $-1.0$。

码制	定点小数数值范围	数码个数
原码	$-(1 - 2^{-(n-1)}) \sim +(1 - 2^{-(n-1)})$	$2^{n}-1$
反码	$-(1 - 2^{-(n-1)}) \sim +(1 - 2^{-(n-1)})$	$2^{n}-1$
补码	$-1.0 \sim +(1 - 2^{-(n-1)})$	$2^{n}$
移码	$-1.0 \sim +(1 - 2^{-(n-1)})$	$2^{n}$

3.3 例题二

• 题目：采用 $n$ 位补码（包含一个符号位）表示数据，可以直接表示数值（ D）。

  • A. $2^n$
  • B. $-2^n$
  • C. $2^{n-1}$
  • D. $-2^{n-1}$

• 解析：$n$ 位二进制补码（包含1个符号位）表示的整数范围是 $-2^{n-1} \sim 2^{n-1}-1$，因此它可以直接表示的最小负数值边界为 $-2^{n-1}$。故选 D。

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