浮点数的表示

1. 考点一：浮点数的基础概念

1.1 浮点数表示

$$N = \text{尾数} \times \text{基数}^{\text{指数}}$$

运算过程

对阶 $\rightarrow$ 尾数计算 $\rightarrow$ 结果格式化

例如： $1.23 \times 10^2 + 3.2 \times 10^4$

1.2 特点

• 对阶时，小数向大数看齐
• 对阶是通过较小的尾数右移实现的
• 阶码的位数决定数的​表示范围，位数越多范围越大
• 尾数的位数决定数的有效精度，位数越多精度越高

1.3 例题

1.3.1 题目一

对于长度相同但格式不同的两种浮点数，假设前者阶码长、尾数短，后者阶码短、尾数长，其他规定都相同，则二者可表示数值的范围和精度情况为（C）。

• A、二者可表示的数的范围和精度相同
• B、前者所表示的数的范围更大且精度更高
• C、前者所表示的数的范围更大但精度更低
• D、前者所表示的数的范围更小但精度更高

解析：

• 阶码的位数决定数的表示范围：阶码越长，可表示的指数范围就越大，因此数值的表示范围就越大。
• 尾数的位数决定数的有效精度：尾数越长，可表示的有效数字就越多，因此精度就越高。

根据题意：

• 前者阶码长、尾数短 $\rightarrow$ 范围大、精度低
• 后者阶码短、尾数长 $\rightarrow$ 范围小、精度高

因此，前者所表示的数的范围更大但精度更低。

正确答案：C。

1.3.2 题目二

某种机器的浮点数表示格式如下（允许非规格化表示）。若阶码以补码表示，尾数以原码表示，则 $1\ 0001\ 0\ 0000000001$ 表示的浮点数是（B）。

• A、$2^{-16} \times 2^{-10}$
• B、$2^{-15} \times 2^{-10}$
• C、$2^{-16} \times (1 - 2^{-10})$
• D、$2^{-15} \times (1 - 2^{-10})$

解析：

根据给定的二进制串 1 0001 0 0000000001，结合浮点数各字段的划分：

1. 阶码部分：

   • 格式为 1 位阶符 + 4 位阶码，合起来为 5 位补码 10001。
   • 补码 10001 的真值计算：$-2^4 + 1 = -16 + 1 = -15$（即阶码值为 $-15$）。

2. 尾数部分：

   • 格式为 1 位数符 + 10 位尾数，其中数符为 0​（表示正数），尾数原码为 0000000001（表示纯小数）。
   • 该原码对应的真值为：$+2^{-10}$。

3. 最终浮点数：

   • 根据浮点数公式 $N = \text{尾数} \times 2^{\text{阶码}}$，可得结果为：

     $$2^{-10} \times 2^{-15} = 2^{-15} \times 2^{-10}$$

正确答案：B。