校验码

2026/9/12大约 9 分钟

校验码

1. 考点一：奇偶校验码

奇偶校验码的编码方法是：由若干位有效信息（如一个字节），再加上一个二进制位（校验位）组成校验码。
奇校验：整个校验码（有效信息位和校验位）中 “1” 的个数为奇数。
偶校验：整个校验码（有效信息位和校验位）中 “1” 的个数为偶数。
差错能力：奇偶校验，可检查 1 位（奇数个）的错误，不可纠错。

1.1 考点练习

1.1.1 题目一

以下关于采用一位奇校验方法的叙述中，正确的是（ C ）。
A、若所有奇数位出错，则可以检测出该错误但无法纠正错误
B、若所有偶数位出错，则可以检测出该错误并加以纠正
C、若有奇数个数据位出错，则可以检测出该错误但无法纠正错误
D、若有偶数个数据位出错，则可以检测出该错误并加以纠正

解析：

核心原理：奇校验是通过增加一个校验位，使整个编码（有效信息位和校验位）中 “1” 的个数为奇数。
检错与纠错能力：奇偶校验只能检错（检查出奇数个位的错误），而无法纠错。
错误类型判定：
- 当发生奇数个数据位出错时，整个校验码中 “1” 的奇偶性会发生改变，因此可以被检测出来，但无法知道具体是哪一位出错，故无法纠错（选项 C 正确）。
- 当发生偶数个数据位出错时，“1” 的奇偶性保持不变，系统会认为没有错误，从而导致漏检（选项 D 错误）。
选项 A 和 B 错在将“出错的位数（奇数个/偶数个）”混淆成了“数据位的位置（奇数位/偶数位）”。

正确答案：C。

2. 考点二：CRC 循环冗余校验码（可检任意数的错，不可纠错）

CRC 的编码方法是：发送方把 $k$ 位信息位对生成多项式 $G(X)$ 经过循环模二除法得到 $r$ 位校验位；接收方拿到校验码后，对生成多项式 $G(X)$ 经过循环模二除法，结果为 0 则数据无误。否则，只要有任意个数据位错误，结果都不为 0。

2.1 发送方的处理

计算方式：由生成多项式各项系数构成的比特串作为除数，将（ $k$ 位信息位 + 生成多项式最高次个 0）作为被除数，进行二进制模二除法，求得商与余数（校验位）。
发送内容：发送 $k$ 位信息位 + 余数（校验位）。

2.2 接收方的处理

校验方式：由生成多项式各项系数构成的比特串作为除数，将已接收的数据作为被除数，进行二进制模二除法。
判断标准：
- 余数为 0：则数据无误。
- 余数不为 0：则数据错误。

2.3 计算示例

假设数据位是 10110011，生成多项式 $G(x) = x^4 + x^3 + 1$ ，计算余数。

多项式转换：
- 生成多项式 $G(x) = x^4 + x^3 + 1 = 1 \cdot x^4 + 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0$
- 各项系数构成的比特串是：11001（对应校验码有 4 位）。
计算步骤：
- 在数据位的后面补 4 个 0 得到 101100110000。
- 然后对 11001 进行循环模二除法。
- 最后得到的 4 位余数就是校验码，替换后 4 位 0 后得到校验码发过去。

2.3.1 模二除法计算过程

Plaintext

            11010100
      -------------
11001 | 101100110000
        11001
        -----
         11110
         11001
         -----
         11111
         11001
         -----
         11000
         11001
         -----
          0100

2.4 考点练习

在（ D ）校验方法中，采用模 2 运算来构造校验位。
A、水平奇偶
B、垂直奇偶
C、海明码
D、循环冗余

解析：

核心原理：循环冗余校验码（CRC）在编码和校验过程中，发送方与接收方均采用循环模二除法（基于模 2 运算，即不进位、不借位的二进制加减法/异或运算）来计算和验证余数。
其他选项：
- 水平奇偶校验和垂直奇偶校验主要通过统计二进制位中 1 的个数奇偶性来确定校验位。
- 海明码（Hamming Code）利用多组成组奇偶校验位来实现检错和纠错，其核心是建立校验位与出错位的对应关系，通常不直接以模 2 除法作为整体构造手段。

正确答案：D。

3. 考点三：海明校验码

特点：海明校验可检错、也可纠错（注意：标准的单纠错、双检错海明码通常可纠正 1 位错、检 2 位错）。
缺点：计算复杂。
海明校验码的原理：在有效信息位中加入几个校验位形成海明码，使码距比较均匀地拉大，并把海明码的每个二进制位分配到几个奇偶校验组中。当某一位出错后，就会引起有关的几个校验位的值发生变化，这不仅可以发现错误，还能指出错误的位置，为自动纠错提供了依据。
海明码校验位的数量公式： $2^r \ge m + r + 1$ （其中 $r$ 是校验位数量， $m$ 是信息位数量）。

3.1 示例位分配表（ $m=4, r=3$ ）

位数	7	6	5	4	3	2	1
信息位	$I_4$	$I_3$	$I_2$		$I_1$
校验位				$r_2$		$r_1$	$r_0$

3.2 计算过程

例：求信息 1011 的海明码。

确定校验位位数：
- 根据公式 $2^r \ge m + r + 1$ ，已知信息位 $m = 4$ ，代入得 $2^3 \ge 4 + 3 + 1$ ，即校验码为 3 位（ $r = 3$ ）。
- 分别放在 $2^0 = 1$ 、 $2^1 = 2$ 、 $2^2 = 4$ 位。
列出校验位公式：
- 先列出数据位下标的二进制凑权公式：
  - $7 = 2^2 + 2^1 + 2^0$
  - $6 = 2^2 + 2^1$
  - $5 = 2^2 + 2^0$
  - $3 = 2^1 + 2^0$
- 再列出校验位值的计算公式（按包含该权值的位进行异或）：
  - $r_2 = I_4 \oplus I_3 \oplus I_2$ （对应包含 $2^2$ 的位置：7, 6, 5）
  - $r_1 = I_4 \oplus I_3 \oplus I_1$ （对应包含 $2^1$ 的位置：7, 6, 3）
  - $r_0 = I_4 \oplus I_2 \oplus I_1$ （对应包含 $2^0$ 的位置：7, 5, 3）
计算校验位的值：
- 根据公式代入数据（信息位依次为 $I_4=1, I_3=0, I_2=1, I_1=1$ ）得： $r_2 = 0, r_1 = 0, r_0 = 1$ 。
将数据加入表格，如表所示：

位数	7	6	5	4	3	2	1	位数
信息位	$I_4$	$I_3$	$I_2$		$I_1$			信息位
校验位				$r_2$		$r_1$	$r_0$	校验位

填入数据后的海明码表：

位数	7	6	5	4	3	2	1	位数
信息位	1	0	1		1			信息位
校验位				0		0	1	校验位

3.3 考点练习

3.3.1 题目一

海明码是一种纠错码，其方法是为需要校验的数据位增加若干校验位，使得校验位的值决定于某些被校位的数据，当被校数据出错时，可根据校验is的值的变化找到出错位，从而纠正错误。对于 32位 的数据，至少需要增加（ D ）个校验位才能构成海明码。
A、3
B、4
C、5
D、6

解析：

计算校验位数量：

根据海明码校验位数量公式： $2^r \ge m + r + 1$ 。
已知信息位 $m = 32$ ，代入尝试：
- 若 $r = 5$ ： $2^5 = 32$ ，而 $32 + 5 + 1 = 38$ ，不满足 $32 \ge 38$ 。
- 若 $r = 6$ ： $2^6 = 64$ ，而 $32 + 6 + 1 = 39$ ，满足 $64 \ge 39$ 。
因此，至少需要 6 个校验位（但题目选项中对应 32 位数据通常满足 $2^r \ge m + r + 1$ ，当 $m=32$ 时，代入公式 $2^r \ge 32 + r + 1 \Rightarrow 2^r - r \ge 33$ ，当 $r=6$ 时 $64 - 6 = 58 \ge 33$ ，故选 C (5) 对应的是特定选项或者标准软考题中的常见值？等一下，重新核对公式： $2^5 = 32$ 不满足。题目中给出的选项是 A.3, B.4, C.5, D.6，正确答案通常对应 32 位时 $r=6$ 吗？不对，我们算一下： $2^6=64 \ge 32+6+1=39$ ，所以 $r=6$ 。但由于选项里有 C.5, D.6，通常软考中 32 位数据 $m=32$ ，代入 $2^r \ge m+r+1 \Rightarrow 2^6 \ge 32+6+1$ （64 >= 39），所以是 6 个。不过图片中选的是哪个？根据常规软考题，32位数据需要 6 个校验位（因为 $2^5=32 < 32+5+1=38$ ，所以 $r=5$ 不够，必须取 $r=6$ ）。

正确答案：D。

3.3.2 题目二

以 10 位数据为例，其海明码表示 $D_9D_8D_7D_6D_5D_4P_4D_3D_2D_1P_3D_0P_2P_1$ 中，其中 $D_i$ ( $0 \le i \le 9$ ) 表示数据位， $P_j$ ( $1 \le j \le 4$ ) 表示校验位，数据位 $D_9$ 由 $P_4$ 、 $P_3$ 和 $P_2$ 进行校验（从右至左 $D_9$ 的位序为 14，即等于 $8 + 4 + 2$ ，因此用第 8 位的 $P_4$ 、第 4 位的 $P_3$ 和第 2 位的 $P_2$ 校验），数据位 $D_5$ 由（ B ）进行校验。
A、 $P_4P_1$
B、 $P_4P_2$
C、 $P_4P_3P_1$
D、 $P_3P_2P_1$

解析：

确定 $D_5$ 的校验位：

在该海明码排列中，从右至左数出 $D_5$ 的位序：
题目中提到从右至左数，或者直接看其二进制权值。
$D_5$ 对应海明码中的某一位，其位序按 2 的幂次拆分。例如 $10 = 8 + 2$ 等，或者根据题目给出的下标对应关系。
仔细观察 $D_5$ 的位序，将其写成 2 的幂之和（即哪些校验位 $P_j$ 对应的 $2^{j-1}$ 或 $2^k$ 组合）： $D_5$ 对应的位序按惯例拆分通常为 $13$ 或类似数，具体由其位置决定。根据题目给出的规律，各项权值对应的校验位即为其各项所含的 2 的幂。正确答案为 **C ( $P_4P_3P_1$ ** ) （因为 $13 = 8 + 4 + 1$ ，分别对应 $P_4$ 、 $P_3$ 、 $P_1$ ）。

正确答案：B。

4. 校验码总结对比表

校验码类型	校验码位数	校验码位置	检错能力	纠错能力	校验方式
奇偶校验	1	一般拼接在头部	可检奇数个错	不可纠错	奇校验：最终 1 的个数是奇数个；偶校验：最终 1 的个数是偶数个
CRC 循环冗余校验	生成多项式最高次幂决定	拼接在信息位尾部	可检错	不可纠错	模二除法求余数，拼接作为校验位
海明校验	$2^r \ge m + r + 1$	插入在信息位中间	可检错	可纠错	分组奇偶校验